Fractais e sua arte
Esponja de Menger
As atividades são:
O processo iterativo da Esponja de Menger (algumas vezes chamada de Esponja de Menger-Sierpinski) tem como gerador um cubo de aresta $L$ (vamos considerar $L=1$) e vinte regras de iteração. Veja algumas etapas deste processo no vídeo youtu.be/LTrDN4NjPkg:
16.
Indique quais das figuras abaixo é a figura formada da terceira etapa da construção da Esponja de Menger.
17.
Marque a alternativa que completa corretamente os resultados obtidos na n-ésima iteração do processo de construção da Esponja de Menger.
| Etapas | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | ... | $$n$$ |
| Número de quadrados | $$1$$ | $$20^{1}$$ | $$20^{2}$$ | $$20^{3}$$ | ... |
| (a) $20^{n-1}$ | (b) $20^{n}$ | (c) $20^{2n}$ | (d) $20^{n-2}$ |
| Comprimento da aresta | $$1$$ | $$\Big(\frac{1}{3}\Big)^1$$ | $$\Big(\frac{1}{3}\Big)^2$$ | $$\Big(\frac{1}{3}\Big)^3$$ | ... |
| (a) $\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n}$ | (b) $\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-1}$ | (c) $\Big(\frac{1}{9}\Big)^{n}$ | (d) $\Big(\frac{1}{9}\Big)^{n-1}$ |
| Volume de cada cubo | $$V$$ | $$\Big(\frac{20}{27}\Big)^1 V$$ | $$\Big(\frac{20}{27}\Big)^2 V$$ | $$\Big(\frac{20}{27}\Big)^3 V$$ | ... |
| (a) $\Big(\frac{20}{27}\Big)^{n-1}V$ | (b) $\Big(\frac{20}{27}\Big)^{n}$ | (c) $\Big(\frac{20}{27}\Big)^{n-1}$ | (d) $\Big(\frac{20}{27}\Big)^{n}V$ |
O volume total da Esponja de Menger é...
18.
Descreva a primeira e a última transformação similar do processo de construção da Esponja de Menger.
$f_{1} (x,y,z)=$
$f_{20} (x,y,z)=$
Se estiver tendo dificuldade de preencher os espaços com as fórmulas matemáticas, clique no espaço que deseja preencher e utilize os botões abaixo para lhe auxiliar.
Ao aplicarmos as transformações similares $f_{1}(x,y,z)$, $f_{2}(x,y,z)$, $f_{3}(x,y,z)$, $...$, $f_{20}(x,y,z)$ no cubo inicial, vamos gerar uma sequência de figuras $M_{n}$, $n \in N$. Por exemplo, para $n=3$ temos a seguinte sequência:
|
|
|
| $M_{1}$ | $M_{2}$ | $M_{3}$ |
Note que cada figura da sequência acima é formada por vinte cópias reduzidas da figura anterior e $20^{n}$ cópias do gerador. Por exemplo, a figura $M_{3}$
$M_{3} = f_{1}(M_{2})$ $\cup f_{2}(M_{2})$ $\cup f_{3}(M_{2}) ...$ $\cup f_{20}(M_{2}).$
Portanto, se $M_{n}$ é a figura gerada no n-ésimo passo temos que
$M_{n} = f_{1}(M_{n-1})$ $\cup f_{2}(M_{n-1})$ $\cup f_{3}(M_{n-1}) ...$ $\cup f_{20}(M_{n-1}).$
Um conjunto finito ${f_{1}, f_{2}, ..., f_{m}}$ de transformações similares é chamado Sistema de Funções Iteradas (IFS).
19.
Escreva quantas transformações formam os seguintes Sistemas de Funções Iteradas – IFS:
(a) Processo iterativo do Triângulo de Sierpinski:
(b) Processo iterativo do Tapete de Sierpinski:
(c) Processo iterativo do Esponja de Menger:
Um conjunto $E$ é chamado conjunto invariante ou atrator de um Sistema de Funções Iteradas – IFS se
$$E = \cup^{m}_{i=1}f_{i}(E)$$
A principal propriedade que IFS é que gera um único atrator, que é um fractal. Deste modo, podemos definir os seguintes fractais:
Triângulo de Sierpinski: $S = f_{1}$ $(S) \cup f_{2}$ $(S) \cup f_{3}$ $(S)$
Tapete de Sierpinski: $Q = f_{1}$ $(Q) \cup f_{2}$ $(Q) \cup f_{3}$ $(Q) ...$ $\cup f_{8} (Q)$
Esponja de Menger: $M = f_{1}$ $(M) \cup f_{2}$ $(M) \cup f_{3}$ $(M) ...$ $\cup f_{20} (M)$
Como as $f_{i}$ são transformações similares e $S$, $Q$ e $M$ atratores temos que estes fractais são autossimilares.