Curvas e sua arte

 Quando queremos visualizar o comportamento gráfico de uma função, utilizamos um sistema de eixos cartesianos, denominado plano cartesiano. Cada ponto deste plano é representado por um par ordenado de números. Entretanto, algumas vezes precisamos representar algumas curvas descritas por pares ordenados cujas coordenadas são dadas por uma distância e um ângulo em relação ao um ponto fixo, que será o referencial. Este plano é chamado de Plano Polar.

 Por convenção, os pontos no plano polar é freqüentemente denotado por $(r,\theta)$, onde $r$ é a distância de um ponto ao referencial e $\theta$ é o ângulo tomado no sentido anti-horário, da parte positiva do eixo x.

 O ponto de referência (ou ponto fixo) $O$ é chamado pólo e a semirreta, eixo polar.

 Vamos traçar o gráfico de algumas curvas no sistema polar de eixos? Para isso, vamos atribuir alguns valores para $\theta$ e calcularmos os valores de $r$. Em seguida, marcamos todos os pontos no plano polar e construímos a curva. Vamos lá!

(a) Espiral de Arquimedes: Considere $r=\theta$. Para facilitar o cálculo, utilize a calculadora.

Calculadora

$\theta$	$$r$$
$$0$$
$$\frac{\pi}{6}$$
$$\frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\pi}{2}$$
$$\frac{2\pi}{3}$$
$$\frac{5\pi}{6}$$
$$\pi$$
$$\frac{7\pi}{6}$$
$$\frac{25\pi}{18}$$
$$\frac{3\pi}{2}$$
$$\frac{5\pi}{3}$$
$$\frac{11\pi}{6}$$
$$\frac{23\pi}{12}$$
$$2\pi$$

Salvar Imagem

(b) Cardioide: Considere $r=1+\cos(\theta)$.

Calculadora

$\theta$	$$r$$
$$0$$
$$\frac{\pi}{6}$$
$$\frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\pi}{2}$$
$$\frac{2\pi}{3}$$
$$\frac{5\pi}{6}$$
$$\pi$$
$$\frac{7\pi}{6}$$
$$\frac{25\pi}{18}$$
$$\frac{3\pi}{2}$$
$$\frac{5\pi}{3}$$
$$\frac{11\pi}{6}$$
$$\frac{23\pi}{12}$$
$$2\pi$$

 Antes de desenhar a curva, tenho um Desafio: olhando apenas para os valores obtidos na tabela, você saberia dizer se há algum tipo de simetria nesta curva?

Salvar Imagem

 Neste exercício, mova os parâmetros para visualizar a construção da Rosácea.

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6. Construindo outras curvas

 Agora que já sabemos construir algumas curvas rolantes e já conhecemos suas equações na forma polar (ou paramétrica), vamos construir algumas curvas utilizando este aplicativo online: bit.ly/2HFVdiC.

 Utilize as fórmulas abaixo para gerar o gráfico correspondente no aplicativo.

Equação

$$r=1-\textrm{sen}(\theta)$$

$$r=\frac{2}{\theta}$$

$$r=1+\cos(\theta)$$

$$r=\sqrt{4 \cos(2\theta)}$$

---

7. Caça-palavras

 Localize a seguir o nome das cinco curvas que apresentamos até agora.

Q

U

V

O

R

L

L

E

G

S

D

Z

T

N

C

Y

Y

U

R

J

D

O

K

L

E

M

I

N

I

S

C

A

T

A

I

M

U

N

S

N

E

V

V

Q

K

Y

R

W

R

A

A

E

L

H

I

A

O

U

O

Q

T

E

S

Y

P

D

S

M

F

T

M

A

C

A

E

I

I

B

S

D

W

Z

I

Y

F

Z

O

T

K

E

I

W

L

O

Y

P

K

J

S

O

Y

H

P

Q

X

E

A

Y

T

L

E

O

I

U

A

E

I

S

I

Q

W

F

R

L

I

G

U

X

Y

R

U

J

H

D

J

E

E

B

A

E

I

T

Q

E

O

J

A

V

R

E

E

L

V

X

C

O

A

M

V

U

F

E

J

L

C

Z

Q

F

E

F

P

Z

I

I

A

H

K

G

J

X

E

I

B

N

O

P

J

O

H

Z

C

K

V

D

W

M

A

Y

G

E

G

A

G

A

G

P

B

J

L

S

A

J

A

G

Z

U

A

I

X

X

Y

U

U

T

E

M

O

Y

J

V

Y

W

B

G

E

C

H

S

T

A

Y

U

C

Z

I

E

B

G

E

I

P

T

X

R

E

P

A

P

O

L

N

B

D

L

M

Y

R

E

L

Y

Y

J

M

I

K

R

Q

U

R

A

E

U

N

G

S

O

U

D

O

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8.

 Nesta atividade, vamos desenhar curvas rolantes utilizando um espirógrafo. O espirógrafo produz curvas conhecidas como hipotrocloides e epitrocloides e foi desenvolvido pelo engenheiro britânico Danys Fisher que exibiu-o em 1965. Este instrumento consiste em uma série de engrenagens de vários tamanhos e formas. As extremidades possuem dentes para se encaixar em outras peças, por dentro ou por fora de uma engrenagem. Para utilizar, basta fixar umas das engrenagens e encaixar a outra, dentro ou fora da engrenagem fixada. Finalmente, a ponta de uma caneta é colocada em um dos buracos movendo a peça. Com a parte que se move, pelo rastro da caneta, é traçada a curva.

 Para esta atividade, utilizaremos um espirógrafo online, para construir algumas curvas. O link de acesso é este: bit.ly/2JSKUIP.