Fractais e sua arte

 Chamamos de "Família Sierpinski" os fractais Triângulo e Tapete de Sierpinski e a Esponja de Menger-Sierpinski.

 Nesta seção aprenderemos o processo iterativo para construírmos estes fractais e descobriremos suas principais propriedades.

Triângulo de Sierpinski

 O processo iterativo do Triângulo de Sierpinski tem como gerador um triângulo equilátero de lado $L$ (vamos considerar $L=1$) e três regras de iteração:

1. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{2}$;
2. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{2}$ e transladar $\frac{1}{2}$ para a direita;
3. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{2}$, transladar $\frac{1}{4}$ para a direita e transladar $\frac{\sqrt{3}}{4}$; para cima.

5.

 Aplicando uma vez o processo iterativo descrito acima no seguinte triângulo equilátero

qual das figuras abaixo é a figura final?

(a)	(b)	(c)	(d)

6.

 Aplicando novamente, qual das figuras abaixo é a figura final?

(a)	(b)	(c)	(d)

 No vídeo youtu.be/d-lcM6J2-Jc sete etapas do processo iterativo da construção do Triângulo de Sierpinski.

 Ao aplicarmos o processo iterativo infinitamente obteremos o fractal conhecido como Triângulo de Sierpinski.

7.

 Na obra Odisseia Óptica de Grant Wiggins podemos interpretar a composição com triângulos como uma das etapas do processo de construção do triângulo de Sierpinski. Quantas etapas você vê nesta obra de Grant?

Fonte: bit.ly/2qIkYaT

 Desenhe na obra de Grant Wiggins abaixo as três primeiras etapas do Triângulo de Sierspinski. Use o modelo preto e branco da obra de Grant ou a interação abaixo.

Cor escolhida: Salvar Imagem

8.

 Como sou apaixonado por problemas interessantes e desafiadores, convido você a enfrentar o seguinte desafio: observando as primeiras etapas da construção do triângulo de Sierpinski, complete a tabela abaixo e calcule a área total do Triângulo de Sierpinski.

  Se estiver tendo dificuldade de preencher os espaços com as fórmulas matemáticas, clique no espaço que deseja preencher e utilize os botões abaixo para lhe auxiliar.

Quebra-Frac

Tapete de Sierpinski

 O processo iterativo do Tapete de Sierpinski tem como gerador um quadrado de lado $L$ (vamos considerar $L=1$) e oito regras de iteração:

1. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$;
2. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$ e transladar $\frac{1}{3}$ para a direita;
3. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$ e transladar $\frac{2}{3}$ para a direita;
4. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$ e transladar $\frac{1}{3}$ para cima;
5. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$ e transladar $\frac{2}{3}$ para cima;
6. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$, transladar $\frac{1}{3}$ para a direita e transladar $\frac{2}{3}$; para cima;
7. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$, transladar $\frac{2}{3}$ para a direita e transladar $\frac{2}{3}$; para cima;
8. Reduzir o gerador com fator $\frac{1}{3}$, transladar $\frac{2}{3}$ para a direita e transladar $\frac{1}{3}$; para cima.

9.

 Aplicando uma vez o processo iterativo descrito acima no seguinte quadrado

qual das figuras abaixo é a figura final?

(a)	(b)	(c)	(d)

10.

 Aplicando novamente, qual das figuras abaixo é a figura final?

(a)	(b)	(c)	(d)

11.

 Existe uma ferramenta que cria padrões artísticos chamada Mosaico Fractal (editaedi.ufpa.br/ferramentas/mosaico). Ela preenche a forma que escolher inserindo estampas e apresenta um resultado que se assemelha a um fractal geométrico, sendo também esteticamente agradável.

 Use a ferramenta e crie um lindo Tapete de Sierpinski, como o da Profa. Cristina Vaz.

12.

 No vídeo (youtu.be/XSRXkgR_14k) veja uma animação do processo iterativo das três primeiras etapas da construção do Tapete de Sierpinski.

 Ao aplicarmos o processo iterativo infinitamente obteremos o fractal conhecido como Tapete de Sierpinski.

13.

 Observando as primeiras etapas da construção do tapete de Sierpinski, utilize lápis e papel para completar a tabela abaixo e calcule a área total do Tapete de Sierpinski.

  Se estiver tendo dificuldade de preencher os espaços com as fórmulas matemáticas, clique no espaço que deseja preencher e utilize os botões abaixo para lhe auxiliar.

14.

 Invente um Tapete fractal. Primeiro, descreva o processo iterativo, depois crie o seu fractal desenhando ou usando algum recurso computacional.