Curvas e sua arte

Família Koch

Em 1906, um matemático sueco chamado Helge von Koch publicou um artigo chamado "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes", em que apresentava uma curva geométrica, construída a partir de um processo recursivo, o qual descreveremos a seguir:

Divida um segmento de reta em três partes iguais;
Substitua o segmento médio por dois segmentos iguais, de modo que, os dois novos segmentos formem um triângulo equilátero sem a base;

Observe que obtivemos uma curva formada por quatro segmentos de mesmo comprimento.

Posteriormente, repetem-se os passos 1 e 2 para cada um dos segmentos obtidos.

Repetindo sucessivamente o procedimento anterior, obtemos no limite das interações, uma curva, que deu origem a um fractal conhecido como Curva de Koch. Observe:

11.

Com auxílio do applet do Geogebra (ggbm.at/GfWSvvTE) abaixo, visualize a construção da Curva de Koch:

Agora, complete a tabela para calcular o número de segmentos e o comprimento da curva de Koch. Para inserir os resultados use os botões abaixo (cuidado com as potências, é necessário voltar o cursor).

Etapa	Número de segmentos	Comprimento de cada segmento	Comprimento total da curva
$$0$$	$$1$$	$$1$$	$$1 \times 1$$
$$1$$	$$4$$	$$\frac{1}{3}$$	$$4\times\Big(\frac{1}{3}\Big)=\frac{4}{3}$$
$$2$$	$$4\times4=4^{2}$$	$$\frac{1}{3^{2}}$$	$$4^{2}\times\Big(\frac{1}{3^{2}}\Big)=\Big(\frac{4}{3}\Big)^{2}$$
$$3$$
$$4$$
$$5$$
$$6$$
$$...$$	$$...$$	$$...$$	$$...$$
$$n$$

Se estiver tendo dificuldade de preencher os espaços com as fórmulas matemáticas, clique no espaço que deseja preencher e utilize os botões abaixo para lhe auxiliar.

12.

Para completar as duas próximas charadas, utilize a primeira letra de cada figura:

a) O comprimento de cada segmento da curva, no limite, tende a...

b) O comprimento total da curva de Koch, no limite, tende ao...

13. Curvas tipo Koch

O processo de construção da Curva de Koch pode servir de inspiração para a construção de outras curvas. Que tal construir a sua própria curva? Para isso, você pode utilizar a criatividade e mudar o que você quiser. Por exemplo, você pode alterar o número de partições do segmento inicial, o comprimento de cada segmento ou a figura que substituirá o terço médio. Utilize o applet abaixo para construir a sua curva tipo Koch.

Agora envie sua curva para nossa galeria!

14. Floco de Neve

Vamos construir uma nova figura. Para isso, vamos iniciar com triângulo equilátero e em cada um dos lados, vamos construir uma curva de Koch. Em seguida, repetimos o processo em cada novo segmento obtido. Veja o vídeo (youtu.be/RljwD1mVX6Y):

Utilizando a ferramenta Mosaico Fractal (editaedi.ufpa.br/ferramentas/mosaico), crie uma arte utilizando o floco de neve. Para você se inspirar, veja esta galeria de arte digital utilizando o floco de neve e algumas de suas variações (falta adicionar galeria):

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15.

a) Suponha um triângulo equilátero de lado igual a 1. Fazendo de forma recursiva, como descrito anteriormente, obtenha uma equação para calcular o perímetro do Floco de Neve na etapa $n$.

b) Considerando ainda o mesmo triângulo equilátero de lado unitário, qual a equação para calcular a área do Floco de Neve na etapa $n$?

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