Curvas e sua arte

Curvas que preenchem o espaço

 Em 1890 um matemático chamado Giuseppe Peano descobriu uma curva capaz de passar por todos os pontos de um quadrado. Esta grande descoberta revolucionou o mundo matemático, pois alterou o conceito de curva. O processo para a construção desse tipo de curva é iterativo. No ano seguinte, o matemático David Hilbert descreveu uma variação da curva de Peano.

9. Curva de Hilbert

 Para construir esta curva, vamos considerar um quadrado de lado unitário. O objetivo é ligar o ponto vermelho ao ponto azul por segmentos de reta, de tal forma que estes segmentos passem pelo ponto central de cada quadrado.

 Ao clicar em cada quadrado, você construirá uma sequência de segmentos, que formarão a curva. Vamos iniciar com um quadrado dividido em quatro quadrados iguais. Para descobrir a sequência, comece clicando no quadrado que contém o ponto vermelho e em seguida, no final da linha tracejada.

 A figura acima é chamada de gerador da curva de Hillbert. Agora, vamos fazer a primeira iteração da curva. Para isso, cada um dos quadrados da figura inicial será dividida em quatro novos quadrados, gerando 16 quadrados. Ao clicar em cada quadrado, você construirá uma sequência de segmentos que formarão a curva.

 Observe que:

• No primeiro passo, o gerador foi reduzido pela metade, e girado 90 graus no sentido horário;
• No segundo passo, o gerador foi reduzido pela metade, e transladado 1/2 para cima;
• No terceiro passo, o gerador foi reduzido pela metade, e transladado 1/2 para cima e 1/2 para direita;
• No quarto passo, o gerador foi reduzido pela metade, girado 90 graus no sentido antihorário, e transladado 5/4 para direita.

 Agora vamos fazer a segunda iteração da curva, repetindo o mesmo procedimento. Contudo, agora temos 64 quadrados menores.

 Desafio: agora que você concluiu a segunda iteração, descreva os passos dos procedimentos realizados com a figura obtida na iteração.

 Se repetirmos estes passos indefinidamente, obteremos a curva de Hillbert. Veja o vídeo youtu.be/wYDIW_DVnrM:

---

10. Curva de Peano

 O processo de construção da Curva de Peano também é interativo. Iniciamos com um segmento de reta, dividido em três partes iguais. Sobre o terço médio, construímos um retângulo, formando dois quadrados com lado igual ao terço médio que lhes deu origem. Em cada segmento dos nove restantes, repetem-se o procedimento, e assim sucessivamente. O resultado obtido é youtu.be/mA7tsMVeF_o:

Fonte: bit.ly/2H9UkC9