Fractais e sua arte

Fonte: bit.ly/2EX60BX

 Apolônio de Perga foi um grande geômetra grego, contemporâneo de Arquimedes, que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. Ele propôs o seguinte problema: encontrar um círculo tangente a três outros círculos. Apolônio descobriu que existem dois círculos que não se interceptam e são tangentes aos dois círculos originais. Estes círculos são chamados apolônícos.

 Em 1643, René Descartes escreveu uma carta à rainha Elizabeth de Bohemia apresentando uma fórmula para calcular os raios dos círculos do problema de Apolônio. Elizabeth, que também gostava de Matemática, apresentou uma prova alternativa da fórmula. O teorema é o seguinte:

Teorema de Descartes

 Seja $r1$, $r2$ e $r3$ os raios de três círculos tais que

1. $r_{1}$ é o raio do círculo $C_{1}$ externo com curvatura $k_{1} = \frac{-1}{r_{1}}$;
2. $r_{2}$ e $r_{3}$ são raios dos círculos internos $C_{2}$ e $C_{3}$ ao círculo $C_{1}$ com curvaturas positivas;
3. Os círculos $C_{2}$ e $C_{3}$ são tangentes à $C_{1}$ e são tangentes entre si. Não há intersecção entre os círculos.

 Então, o raio $r_{4}$ do círculo $C_{4}$ que é tangente aos círculos $C_{1}$, $C_{2}$ e $C_{3}$ satisfaz a seguinte fórmula, conhecida como fórmula de Descartes:

$$\frac{1}{r_{4}} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + 2 \sqrt{ - \frac{1}{r_{1}r_{2}} - \frac{1}{r_{1}r_{3}} + \frac{1}{r_{2}r_{3}} } $$